События, образующие полную систему попарно несовместных и равновероятных событий, называются исчерпывающими событиями. Такие события происходят взаимоисключающими исключают друг друга, а их вероятности равны.
В следующих разделах статьи мы рассмотрим основные свойства исчерпывающих событий, их вероятности и применение в различных задачах. Мы также рассмотрим формулы для расчета вероятностей исчерпывающих событий, а также способы использования этих событий для решения задачи о полной вероятности. В конце статьи приведены примеры практических задач, в которых применяются исчерпывающие события. Чтобы узнать больше о полной системе попарно несовместных и равновероятных событий, продолжайте чтение!
Понятие события
Событием в теории вероятностей называется любое возможное исходное явление или обстоятельство, на которое можно повлиять или наблюдать. Оно может быть представлено в виде некоторого факта, ситуации или результате определенного эксперимента.
Важным понятием, связанным с событиями, является понятие элементарного события. Элементарным событием называется такое событие, которое не может быть разбито на более простые события и является неделимым.
Типы событий
События могут быть разделены на несколько типов:
- Простые события: это события, которые происходят с определенным исходом. Например, при подбрасывании монеты простыми событиями будут «выпадение герба» или «выпадение решки».
- Составные события: это события, которые состоят из двух или более простых событий. Например, при бросании двух кубиков составными событиями будут «сумма выпавших очков равна 7» или «хотя бы на одном кубике выпала шестерка».
- Достоверное событие: это событие, которое обязательно происходит. Например, при подбрасывании монеты достоверными событиями будут «выпадение герба» и «выпадение решки», так как они являются полной системой попарно несовместных и равновероятных событий.
- Невозможное событие: это событие, которое не может произойти. Например, при подбрасывании монеты невозможным событием будет «выпадение монеты на ребро».
Связь событий
События могут быть связаны друг с другом различными способами:
- Независимые события: это события, которые не влияют друг на друга. Например, при подбрасывании двух монет независимыми событиями будут «выпадение герба на первой монете» и «выпадение решки на второй монете».
- Зависимые события: это события, которые влияют друг на друга. Например, при вытаскивании карт из колоды зависимыми событиями будут «вытаскивание черной карты» и «вытаскивание масти пики», так как после вытаскивания черной карты вероятность вытаскивания масти пики изменяется.
- Совместные события: это события, которые могут произойти одновременно. Например, при бросании двух кубиков совместными событиями будут «выпадение четного числа на первом кубике» и «выпадение большего числа на втором кубике».
Вероятность равновозможных событий | Алгебра 9 класс #35 | Инфоурок
Понятие системы событий
Система событий — это группа событий, которые могут произойти и охватывают все возможные исходы некоторого эксперимента или ситуации. В такой системе каждое событие называется элементарным, то есть оно не может быть разделено на более простые составляющие. Основная особенность системы событий заключается в том, что все ее события попарно несовместны, то есть не могут произойти одновременно, и каждое событие имеет равную вероятность наступления.
Основные характеристики системы событий:
- Полнота — это свойство системы событий, означающее, что каждое возможное событие учтено и включено в систему. Никакое возможное событие не остается за пределами системы.
- Несовместность — каждое событие в системе исключает возможность наступления других событий из этой системы. Если одно событие произошло, то ни одно другое событие из системы уже не может произойти.
- Равновероятность — каждое событие в системе имеет одинаковую вероятность наступления. Это означает, что вероятность каждого события вычисляется как отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов в системе.
Примером системы событий может служить подбрасывание идеального кубика. В этом случае система событий будет состоять из шести элементарных событий, соответствующих выпадению каждой из шести граней кубика. Каждое из этих событий будет попарно несовместным и иметь равную вероятность наступления.
Несовместные события
Когда мы говорим о несовместных событиях, мы имеем в виду события, которые не могут произойти одновременно. То есть, если одно из несовместных событий произошло, то другое не может произойти, и наоборот.
Несовместные события образуют полную систему, что означает, что одно из них обязательно произойдет. Например, если у нас есть события «выпадение герба» и «выпадение решки» при подбрасывании монеты, то они являются несовместными, поскольку невозможно получить и герб, и решку одновременно.
Ключевая особенность несовместных событий заключается в их равновероятности. Это означает, что вероятность каждого из несовместных событий равна, и их сумма равна единице. В нашем примере с монетой, вероятность выпадения герба и вероятность выпадения решки равны по 0,5, и их сумма составляет 1, что показывает, что одно из этих событий обязательно произойдет.
Примеры несовместных событий:
- Выбор красного или синего шарика из урны
- Выбор года, который является високосным или нет
- Получение герба или решки при подбрасывании монеты
Итак, несовместные события — это события, которые не могут произойти одновременно, но одно из них обязательно произойдет. Они образуют полную систему и имеют равновероятность. Понимание несовместных событий является важным аспектом вероятностного анализа и помогает в решении различных задач, связанных с вероятностью.
Равновероятные события
Равновероятные события – это события, которые имеют одинаковую вероятность возникновения. Это значит, что каждое из этих событий может произойти с равной вероятностью, и ни одно из них не является более вероятным или менее вероятным, чем другие.
Равновероятные события — важное понятие в теории вероятностей. Они позволяют нам рассчитывать вероятность возникновения различных событий на основе количества равновероятных исходов. Если у нас есть несколько равновероятных событий, вероятность каждого из них можно вычислить, разделив 1 на общее количество равновероятных исходов.
Пример равновероятных событий:
- Бросок симметричной монеты — монета может упасть орлом или решкой с равной вероятностью.
- Бросок симметричного игрального кубика — каждая из шести граней имеет равную вероятность выпадения.
- Выбор случайной карты из колоды — каждая карта имеет равную вероятность быть выбранной.
Равновероятные события играют важную роль при моделировании случайных процессов и анализе вероятностей. Они позволяют нам делать предсказания и принимать решения на основе вероятностных данных.
Полная система событий
Полная система событий — это набор событий, которые образуют попарно несовместные и равновероятные исходы. Такая система охватывает все возможные исходы эксперимента и исключает возможность появления других событий.
Когда мы рассматриваем вероятности событий, очень часто имеет смысл разделить все возможные исходы на несколько групп, чтобы более точно оценить вероятности каждого события. В таких случаях полная система событий становится полезным инструментом.
Свойства полной системы событий:
- Каждое событие в полной системе несовместно с любым другим событием в этой системе. Это означает, что два или более событий не могут произойти одновременно.
- Сумма вероятностей всех событий в полной системе равна 1. Это свойство отражает то, что одно из событий обязательно произойдет.
Примеры полной системы событий:
Давайте рассмотрим пример с подбрасыванием монеты. В этом случае возможны два исхода: выпадение герба или решки. Если мы рассмотрим полную систему событий, то она будет состоять из двух событий: «выпадение герба» и «выпадение решки». Они являются попарно несовместными и равновероятными, так как вероятность выпадения герба равна вероятности выпадения решки и оба события не могут произойти одновременно.
Еще одним примером полной системы событий является бросок игральной кости. В этом случае возможны исходы от 1 до 6. Полная система событий будет состоять из шести событий: «выпадение 1», «выпадение 2», «выпадение 3», «выпадение 4», «выпадение 5» и «выпадение 6». Все эти события являются несовместными и равновероятными, так как выпадение каждой из численных граней равновероятно и невозможно, чтобы два или более числа выпали одновременно.
Образование полной системы попарно несовместных и равновероятных событий
Полная система попарно несовместных и равновероятных событий – это совокупность событий, которые образуют полный набор исходов, причем каждое событие имеет одинаковую вероятность наступления. Такая система является основой для генерации случайных событий в различных областях, включая теорию вероятностей и статистику.
Образование полной системы попарно несовместных и равновероятных событий
Для образования полной системы попарно несовместных и равновероятных событий используется принцип равновероятного деления или принцип симметрии. Этот принцип заключается в том, что каждый исход из полной системы имеет одинаковую вероятность наступления.
Процесс образования полной системы попарно несовместных и равновероятных событий включает несколько этапов:
- Выбор пространства элементарных исходов. Пространство элементарных исходов представляет собой множество всех возможных исходов эксперимента.
- Определение количества событий в полной системе. Количество событий должно быть конечным и равным количеству элементарных исходов.
- Разделение вероятности на каждое событие. При равномерном делении вероятности каждое событие получает одинаковую вероятность.
Пример полной системы попарно несовместных и равновероятных событий
Для лучшего понимания можно привести пример полной системы попарно несовместных и равновероятных событий. Рассмотрим эксперимент по бросанию честной монеты. Пространство элементарных исходов в данном случае будет состоять из двух возможных исходов: выпадение герба и выпадение решки.
В данном случае полная система попарно несовместных и равновероятных событий будет состоять из двух событий: «выпадение герба» и «выпадение решки». Каждое из этих событий имеет вероятность 1/2, так как у нас есть всего два равновероятных исхода.
Этот пример демонстрирует, как принцип равновероятного деления позволяет образовать полную систему попарно несовместных и равновероятных событий на основе простого эксперимента.
| Пространство элементарных исходов: | Герб | Решка |
|---|---|---|
| События: | Выпадение герба | Выпадение решки |
| Вероятность: | 1/2 | 1/2 |
Примеры полной системы попарно несовместных и равновероятных событий
Полная система попарно несовместных и равновероятных событий представляет собой набор событий, которые не могут произойти одновременно и имеют равные вероятности наступления. Это означает, что вероятность каждого из событий равна и не зависит от наступления или ненаступления других событий в системе. Вот некоторые примеры полной системы попарно несовместных и равновероятных событий:
Бросок монеты
Если бросить монету, то есть два возможных исхода — орел или решка. Вероятность выпадения орла и решки равна 0,5, так как каждый исход имеет одинаковые шансы наступления. Орел и решка являются попарно несовместными событиями, так как они не могут произойти одновременно.
Бросок игральной кости
Если бросить игральную кость, то есть шесть возможных исходов — выпадение одной из шести граней. Вероятность выпадения каждого числа равна 1/6, так как каждое число имеет одинаковые шансы наступления. Каждая комбинация выпавшего числа исключает остальные числа и является попарно несовместным событием.
Выпадение карты из колоды
Если взять стандартную колоду карт, то есть 52 возможных исхода — выпадение одной из 52 карт. Вероятность выпадения каждой карты равна 1/52, так как каждая карта имеет одинаковые шансы наступления. Каждая карта исключает остальные карты и является попарно несовместным событием.
Бросок двух кубиков
Если бросить два кубика, то есть 36 возможных исходов — комбинации выпавших чисел от 2 до 12. Вероятность выпадения каждой комбинации равна 1/36, так как каждая комбинация имеет одинаковые шансы наступления. Каждая комбинация исключает остальные комбинации и является попарно несовместным событием.
Зависимые и независимые события, вероятность произведения двух событий
Значение полной системы попарно несовместных и равновероятных событий в теории вероятностей
Полная система попарно несовместных и равновероятных событий — это основной инструмент в теории вероятностей, который позволяет нам рассчитывать вероятности различных исходов.
Вероятность — это численная характеристика степени возможности наступления события. Она может принимать значения от 0 до 1, где 0 означает абсолютную невозможность наступления события, а 1 — его абсолютную достоверность. Чтобы рассчитать вероятность события, мы должны знать множество всех возможных исходов искомого события и количество благоприятных исходов.
Система самостоятельности и эксперимента
Для того, чтобы иметь возможность рассчитывать вероятности, мы должны иметь систему событий, которая удовлетворяет двум условиям: полной системе и попарной несовместности.
Полная система событий — это система, в которой сумма вероятностей всех событий равна 1. Другими словами, любой возможный исход эксперимента должен принадлежать к одному из событий в этой системе. Например, если мы рассматриваем бросок симметричной монеты, полная система событий будет состоять из двух событий: «выпадение герба» и «выпадение решки». Сумма вероятностей этих двух событий должна быть равна 1.
Попарная несовместность означает, что ни одно из событий в системе не может произойти одновременно с другими событиями в этой системе. Вероятность пересечения двух несовместных событий равна 0. Вернемся к примеру с монетой: события «выпадение герба» и «выпадение решки» являются несовместными, так как невозможно, чтобы одновременно выпал герб и решка.
Равновероятность и ее значение
Равновероятность — это свойство полной системы попарно несовместных событий, при котором каждое событие имеет одинаковую вероятность наступления. Это означает, что вероятность каждого события в системе равна числу событий в этой системе, деленному на общее число возможных исходов эксперимента.
Значение полной системы попарно несовместных и равновероятных событий заключается в возможности использования ее для рассчета вероятностей различных исходов. Если у нас есть полная система попарно несовместных и равновероятных событий, мы можем использовать формулу вероятности, чтобы рассчитать вероятность наступления любого события. Просто делим количество благоприятных исходов данного события на общее количество исходов в системе, и получаем вероятность этого события.
